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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数二}
\subtitle{7-4-不变子空间 }
%\institute{上海立信会计金融学院}
%\author{王立庆}
\author{{\ppr LQW}}
\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
%\date{{\ppr 2023年3月9日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{7.4.i. 作业：星期天晚上十点半之前在网络教学平台提交 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item   整理课堂笔记，补充没写完的计算或证明。
\item   习题(7.4)\#1,2,3, 抄写题目。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.ii. 目录 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item[7.4.1-2.] 不变子空间的定义
\item[7.4.3-7.] 例子
\item[7.4.8-9.] 线性变换在不变子空间的限制的定义
\item[7.4.10.] 不变子空间帮助简化线性变换的矩阵
\item[7.4.11.] 不变子空间越多越能简化线性变换的矩阵
\item[7.4.12.] 例子
%\item[7.4.10.] 习题7.4.1.
%\item[7.4.11.] 习题7.4.2. 

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{7.4.iii. 课堂讲解重点 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  不变子空间的定义和例子
\item  不变子空间帮助简化线性变换的矩阵

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.1. 不变子空间的定义}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是一个向量空间，设 $\sigma:V\to V$ 是一个线性映射。设 $W\subseteq V$ 是一个子空间。什么时候称 $W$ 是 $\sigma$ 的一个不变子空间？}

\item 解答：当 $\sigma(W)\subseteq W$ 的时候。也就是说，当 $\sigma$ 将 $W$ 中的任何一个向量都仍然映到 $W$ 中的时候。用数学符号来说，就是 $$\forall \alpha\in W: \quad \sigma(\alpha)\in W. $$ 

%\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight,width=0.7\textwidth]{pic/invariant-subspace-1.png}
%\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.2. 不变子空间的定义}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：什么时候子空间 $W$ 不是 $\sigma$ 的不变子空间？}

\item 解答：当 $\sigma(W)\nsubseteq W$ 的时候。也就是说，
存在 $\alpha\in W$ 使得 $\sigma(\alpha)\notin W$. 

%\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight,width=0.7\textwidth]{pic/invariant-subspace-2.png}
%\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.3. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：平凡子空间是任何线性变换的不变子空间，即有
$$\sigma(\{\theta\})=\{\theta\}, \quad \sigma(V)\subseteq V.$$}

\item 证明：因为 $\sigma$ 是线性变换，所以 $\sigma(\theta)=\theta$. 所以 $\sigma(\{\theta\})=\{\theta\}$. 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.4.  例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：任意线性变换的像空间和核空间都是这个线性变换的不变子空间。具体地说，设 $\sigma:V\to V$ 是一个线性变换，记 $K:=\text{Ker}(\sigma)$ 和 $W:=\text{Im}(\sigma)$ 是它的核空间和像空间，则有 
$$\sigma(K)\subseteq K, \quad \sigma(W)\subseteq W.$$ }

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item 设 $\alpha\in K$, 则 $\sigma(\alpha)=\theta$, 这里 $\theta$ 是 $V$ 中的零向量。因此 $\sigma(K)=\{\theta\}$. 因为 $\theta\in K$, 所以得证 $\sigma(K)\subseteq K$. 
\item  设 $\alpha\in W$, 因为 $W\subseteq V$ 所以 $\alpha\in V$. 因为 $W$ 是像空间，所以 $\sigma(\alpha)\in W$. 

%则存在 $\beta\in V$ 使得 $\alpha=\sigma(\beta)$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.5. 例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：任意子空间都是位似变换的不变子空间。具体地说，设 $\sigma=k\iota:V\to V$ 是一个线性变换，其中 $\iota$ 是恒等变换，设 $W\subseteq V$ 是任意一个子空间，则有 $\sigma(W)\subseteq W$.
}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  设 $\alpha\in W$. 根据 $\sigma$ 的定义，有 $\sigma(\alpha)=k\alpha$. 
\item  因为 $W$ 是子空间，由 $\alpha\in W$ 可得 $k\alpha\in W$. 
\item  因此 $\alpha\in W$ 蕴含 $\sigma(\alpha)\in W$, 即有 $\sigma(W)\subseteq W$. 
\item  因此 $W$ 是 $\sigma$ 的一个不变子空间。
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.6. 例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V=\mathbb{R}^3$ 是立体空间，设 $\sigma:V\to V$ 是绕 $Oz$ 轴按照右手法则旋转 $\theta=\pi/4$ 角度，求 $\sigma$ 的所有的不变子空间。
}

\item 解答：

\begin{enumerate}
\item 首先零子空间 $\{\theta\}$ 和全空间 $V$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。
\item 旋转轴 $Oz$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。
\item 平面 $Oxy$ 也是 $\sigma$ 的不变子空间。

\end{enumerate}

%\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight,width=0.6\textwidth]{pic/invariant-subspace-3.png}
%\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.7. 例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V=F[x]$ 是数域 $F$ 上的以 $x$ 为未知数的一切多项式全体组成的向量空间。设 $W=F[x]_n$ 是次数小于等于 $n$ 的一切多项式和零多项式组成的子空间。设 $\sigma:V\to V$ 是求导数，即 $\sigma(f(x))=f{\,'}(x)$. 证明 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。
}

\item 证明：
设 $f(x)\in W$, 则 $f(x)$ 的次数小于等于 $n$, 于是可设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.$$
它的导数多项式为
$$f{\,'}(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1.$$
它的次数也小于等于 $n$. 所以 $\sigma(f(x))\in W$. 
因此得证 $\sigma(W)\subseteq W$. 所以 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。
%\item 

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.8. 线性变换在不变子空间上的限制}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：设 $\sigma:V\to V$ 是一个线性映射。设 $W\subseteq V$ 是一个不变子空间。线性变换 $\sigma$ 在 $W$ 上的限制，是指一个线性变换 $\varphi: W\to W$, 其中 $\forall \alpha\in W: \varphi(\alpha)=\sigma(\alpha)$. 如何理解这个“限制变换”?
}

\item 解答：

%\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight,width=0.6\textwidth]{pic/invariant-subspace-4.png}
%\end{center}

\item 注解：有时候也将这样定义的 $\varphi$ 写成 $\sigma\mid_W$, 以表示与 $\sigma$ 的联系。


\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.9. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：设 $\sigma:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ 是绕 $Oz$ 轴的逆时针旋转 $\theta$ 角度。
求 $\sigma$ 分别在 $Oz$ 轴和 $Oxy$ 平面中的限制。
}

\item 解答：

\begin{enumerate}

\item 线性变换 $\sigma$ 限制在 $Oz$ 轴 $W=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}$ 上是恒等变换，即 

\vspace{-0.4cm}
$$\sigma\mid_{W} \,\,=\, \iota : W\to W. $$
\vspace{-0.4cm}

\item  线性变换 $\sigma$ 限制在 $Oxy$ 平面 $U=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$ 上是一个旋转，在$U$ 的一个基 $\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ 下，限制变换 $\sigma\mid_{U} : U\to U$ 的矩阵是 

\vspace{-0.4cm}
$$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta& \cos\theta \end{pmatrix}.$$
\vspace{-0.4cm}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.10. 不变子空间帮助简化线性变换的矩阵}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个4维的向量空间，设 $\sigma:V\to V$ 是一个线性变换。设 $W\subseteq V$ 是 $\sigma$ 的一个2维的不变子空间。设 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 是 $W$ 的一个基，并将其扩充到 $V$ 的一个基 $\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}$. 求 $\sigma$ 关于基 $\Phi$ 的矩阵。你有什么发现？
}

\item 解答：因为 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，所以有 $\sigma(W)\subseteq W$, 于是
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\sigma(\alpha_1) &=& k_{1}\alpha_1+k_{2}\alpha_2, \\
\sigma(\alpha_2) &=& \ell_{1}\alpha_1+\ell_{2}\alpha_2, \\ 
\end{eqnarray*}

\vspace{-1.7cm}

\begin{eqnarray*}
(\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\sigma(\alpha_3),\sigma(\alpha_4)) &=& (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)
\begin{pmatrix} k_1&\ell_1&m_1&n_1 \\ k_2&\ell_2&m_2&n_2 \\ 0&0&m_3&n_3 \\ 0&0&m_4&n_4 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\vspace{-0.5cm}

发现这是一个分块上三角矩阵。
\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.11. 不变子空间越多就越能够简化线性变换的矩阵}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个向量空间，设 $\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}$ 是 $V$ 的一个基。设 $\sigma:V\to V$ 是一个线性映射。设 $W=\mathcal{L}(\alpha_1,\alpha_2)$ 和 $U=\mathcal{L}(\alpha_3,\alpha_4)$ 都是 $\sigma$ 的不变子空间。求 $\sigma$ 关于基 $\Phi$ 的矩阵。
}

\vspace{0.5cm}

\item 解答：根据线性变换关于一个基的矩阵的定义，可得
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\sigma(\alpha_3),\sigma(\alpha_4)) &=& (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)
\begin{pmatrix} k_1&\ell_1&0&0 \\ k_2&\ell_2&0&0 \\ 0&0&m_3&n_3 \\ 0&0&m_4&n_4 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

发现这是一个分块对角矩阵。

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.4.12. 例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V=\mathbb{R}^3$ 是立体空间，设 $\sigma:V\to V$ 是绕 $Oz$ 轴按照右手法则旋转 $\theta$ 角度。求 $\sigma$ 在标准基下的矩阵。
}

\vspace{0.3cm}

\item 解答：向量空间 $\mathbb{R}^n$ 的标准基是指 
{\footnotesize 
$$e_1=(1,0,\cdots,0),e_2=(0,1,\cdots,0),\cdots, e_n=(0,0,\cdots,1).$$
}

写出下述式子，右边的矩阵就是所求，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
( \sigma(e_1),\sigma(e_2),\sigma(e_3) ) = ( e_1, e_2, e_3 )
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta &0 \\ \sin\theta &\cos\theta &0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\item  注：绕其它过原点的直线的旋转，关于适当的基，也有类似的矩阵。

\end{itemize}

\end{frame}


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.4)\#1 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是一个有限维向量空间。设 $\sigma:V\to V$ 是一个双射。设 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，则 $W$ 也是 $\sigma^{-1}$ 的不变子空间。
}

\item 证明：
\begin{enumerate}

%\item 因为 $\sigma:V\to V$ 是一个双射，所以可设 $\sigma^{-1}(\alpha)=\beta$, 即 $\sigma(\beta)=\alpha$. 
\item 因为 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，所以存在限制变换 $\sigma\mid_W \,: W\to W$, 记为 $\varphi$. 
\item 因为 $\sigma:V\to V$ 是单射，所以 $\varphi:W\to W$ 也是单射。
\item 设 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 是 $W$ 的一个基，特别地这个向量组线性无关。因为 $\varphi$ 是单射，所以 $\{\varphi(\alpha_1),\cdots,\varphi(\alpha_m)\}$ 也是线性无关的，从而也是 $W$ 的一个基。
\item 所以 $\varphi:W\to W$ 也是满射。
\item 对任意 $\alpha\in W$, 要证明 $\sigma^{-1}(\alpha)\in W$. 
\item 因为 $\varphi:W\to W$ 是满射，所以存在 $\beta\in W$ 使得 $\varphi(\beta)=\alpha$. 故 $\sigma(\beta)=\alpha$.
\item 于是 $\beta=\sigma^{-1}(\alpha)$. 因为 $\beta\in W$, 所以 $W$ 也是 $\sigma^{-1}$ 的不变子空间。
\end{enumerate}

\item  注：这个证明似乎有点啰嗦。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.4)\#2 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $\sigma,\tau\in L(V)$, 这是向量空间 $V$ 上的两个线性变换。设 $\sigma\tau=\tau\sigma$. 证明 $\text{Im}(\sigma)$ 和 $\text{Ker}(\sigma)$ 都是 $\tau$ 的不变子空间。
}

\item 证明：
\begin{enumerate}

\item  $\text{Im}(\sigma)$ 是 $\tau$ 的不变子空间：
\begin{enumerate}
\item[1.1.] 设 $\alpha\in\text{Im}(\sigma)$, 所以存在 $\beta\in V$ 使得 $\alpha=\sigma(\beta)$. 
\item[1.2.] 因为 $\sigma\tau=\tau\sigma$, 所以 $\tau(\alpha)=\tau(\sigma(\beta))=\sigma(\tau(\beta))$.
\item[1.3.] 因为 $\tau(\beta)\in V$,所以 $\tau(\alpha)\in\text{Im}(\sigma)$.
\end{enumerate}

\item  $\text{Ker}(\sigma)$ 是 $\tau$ 的不变子空间：
\begin{enumerate}
\item[2.1.]  设 $\alpha\in\text{Ker}(\sigma)$, 所以 $\sigma(\alpha)=\theta$ 为零向量。
\item[2.2.] 因为 $\sigma\tau=\tau\sigma$, 所以 $\sigma(\tau(\alpha)) = \tau(\sigma(\alpha)) = \tau(\theta) = \theta$. 
\item[2.3.] 所以 $\tau(\alpha)\in\text{Ker}(\sigma)$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.4)\#3 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $\sigma$ 是数域 $F$ 上向量空间 $V$ 的线性变换，并且 $\sigma^2=\sigma$. 
证明：
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}$\text{Ker}(\sigma) = \{\xi-\sigma(\xi)\mid \xi\in V\}$. }
\item  {\color{red}$V=\text{Ker}(\sigma)\oplus \text{Im}(\sigma)$. }
\item  {\color{red}设 $\tau\in L(V)$. 证明 $\text{Ker}(\sigma)$ 与 $\text{Im}(\sigma)$ 都是 $\tau$ 的不变子空间当且仅当 $\sigma\tau=\tau\sigma$. } 
\end{enumerate}
}

\item  思路：
\begin{enumerate}
\item 根据核空间的定义。
\item 验证直和的定义里的两个条件。
\item 证明当且仅当的两个方面：
\begin{enumerate}
\item 设 $\sigma\tau=\tau\sigma$. 验证 $\text{Ker}(\sigma)$ 与 $\text{Im}(\sigma)$ 都是不变子空间。
\item 设 $\text{Ker}(\sigma)$ 与 $\text{Im}(\sigma)$ 都是不变子空间。验证 $\sigma\tau=\tau\sigma$. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
%\begin{frame}{习题(7.4)\#4 }
%
%\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%%每页详细内容
%
%\begin{itemize}
%
%\item  {\color{red}问题：设 $\tau$ 是向量空间 $V$ 的一个位似。证明 $V$ 的每个子空间都是 $\tau$ 的不变子空间。
%}
%
%\item  思路：根据不变子空间的定义直接验证。
%
%\end{itemize}
%
%\end{frame}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}










